Damian Dróżdż urodził się w Częstochowie, gdzie zaczynał swoją żużlową przygodę. Licencję zdał jednak w barwach Kolejarza Opole. Następnie bronił barw klubów z Wrocławia, Gniezna, Częstochowy, Krosna i Rawicza, gdzie startuje do dziś.
Za największe sukcesy Dróżdża należy uznać trzecią lokatę w finale Brązowego Kasku w 2015 roku oraz wywalczony w tym samym sezonie tytuł Drużynowego Mistrza Polski Juniorów.
